重庆家教、小学初中高中家教首选重庆书之香
17周年钜惠
  •  解析 d 依题意得

  • 来源:重庆书之香 日期:2011-04-07
  • 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)

    1.已知圆x2+y2+dx+ey=0的圆心在直线x+y=1上,则d与e的关系( )

    a.d+e=2 b.d+e=1

    c.d+e=-1 d.d+e=-2[来x k b 1 . c o m

    解析 d 依题意得,圆心-d2-e2直线x+y=1上因此有-d2-e2=1即d+e=-2.

    2.以线段ab:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )

    a.(x+1)2+(y+1)2=2 b.(x-1)2+(y-1)2=2

    c.(x+1)2+(y+1)2=8 d.(x-1)2+(y-1)2=8

    解析 b 直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为2,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

    3.已知f1f2椭圆x24+y2=1的两个焦点,p为椭圆上一动点则使|pf1|•|pf2|取最大值的点p为( )

    a.(-2,0) b.(0,1) c.(2,0) d.(01)和(0-1)

    解析 d 由椭圆定义|pf1|+|pf2|=2a=4,∴|pf1|•|pf2|≤|pf1|+|pf2|22=4

    当且仅当|pf1|=|pf2|,即p(0,-1)或(0,1)时,取“=”.

    4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别f1、f2,p椭圆上一点,若连接f1、f2、p三点恰好能构成直角三角形,则点p到y轴的距离( )

    a.165 b.3 c.163 d.253

    解析 a 椭圆x216+y225=1的焦点分别为f1(0,-3)、f2(0,3),易得∠f1pf2<π2,∴∠pf1f2=π2或∠pf2f1=π2,点p到y轴的距离d= |xp|,又|yp|=3,x2p16+y2p25=1解得|xp|=165故选a.

    5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l方程为( )

    a.4x+y+4=0 b.x-4y-4=0

    c.4x-y-12=0 d.4x-y-4=0

    解析 d 设切点为(x0,y0)则y′|x=x0=2x0, ∴2x0=4即x0=2,

    ∴切点为(2,4),方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.

    6.“m>n>0”“方程mx2+ny2=1表示焦点y轴上的椭圆”的( )

    a.充分不必要条件 b.必要不充分条件

    c.充要条件 d.既不充分也不必要条件

    解析 c 方程可化为x21m+y21n=1,若焦点在y轴上则1n>1m>0,即m>n>0.

    7.设双曲线x2a2-y2b2=1一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )

    a.54 b.5 c.52 d.5

    解析 d 双曲线的渐近线为y=±bax,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点

    即可由y=x2+1,y=bax,得x2-bax+1=0.

    ∴δ=b2a2-4=0,即b2=4a2∴e=5.

    8.p为椭圆x24+y23=1上一点,f1、f2为该椭圆两个焦点若∠f1pf2=60°,则pf1→•pf2→=( )

    a.3 b.3

    c.23 d.2

    解析 d ∵s△pf1f2=b2tan60°2=3×tan 30°=3=12|pf1→|•|pf2→|•sin 60°∴|pf1→||pf2→|=4∴pf1→•pf2→=4×12=2.

    9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )

    a.x212+y216=1 b.x216+y212=1

    c.x248+y264=1 d.x264+y248=1

    解析 b 抛物线的焦点为(2,0),∴由题意得c=2,cm=12,

    ∴m=4n2=12,∴方程为x216+y212=1.

    10.设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c 一条对称轴垂直,l与c交于ab两点|ab|为c实轴长的2倍,则c的离心率为( )

    a.2 b.3

    c.2 d.3

    解析 b 设双曲线c的方程为x2a2-y2b2=1焦点f(-c0),将x=-c代入x2a2-y2b2=

    1可得y2=b4a2∴|ab|=2×b2a=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e=ca=3.

    11.已知抛物线y2=4x准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点且此双曲线一条渐近线方程为y=2x,则双曲线焦距为( )

    a.5 b.25

    c.3 d.23

    解析 b ∵抛物线y2=4x准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点∴a=1,∴双曲线渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c=a2+b2=5,∴双曲线的焦距为25.

    12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点m(1m)(m>0)到其焦点的距离为5双曲线x2a-y2=1的左顶点为 a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a的值为( )

    a.19 b.14

    c.13 d.12

    解析 a 由于m(1m)抛物线上∴m2=2p,而m到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线定义知点m到抛物线准线x=-p2的距离也为5,∴1+p2=5∴p=8由此可以求得m=4双曲线左顶点为a(-a,0)∴kam=41+a,而双曲线的渐近线方程为y=±xa,根据题意得,41+a=1a,∴a=19.

    二填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分.把答案填在题中横线上)

    13.已知直线l1:ax-y+2a+1=0和l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈r)则l1⊥l2的充要条件a=________.

    解析 l1⊥l2↔a•2a-1=-1,解得a=13.

    【答案】 13

    14.直线l:y=k(x+3)与圆o:x2+y2=4交于a,b两点,|ab|=22,则实数k=________.

    解析 ∵|ab|=22圆o半径为2,∴o到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2,解得k=± 147.

    【答案】 ±147

    15.过原点o作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为pq则线段pq的长为________.

    解析 如图,圆的方程可化为

    (x-3)2+(y-4)2=5

    ∴|om|=5|oq|=25-5=25.

    在△oqm中,

    12|qa|•|om|=12|oq|•|qm|

    ∴|aq|=25×55=2∴|pq|=4.

    【答案】 4

    16.在△abc中,|bc→|=4,△abc内切圆切bc于d点,且|bd→|-|cd→|=22则顶点a轨迹方程为________.

    解析 以bc的中点为原点中垂线为y轴建立如图所示的坐标系e、f分别为两个切点.

    则|be|=|bd|,|cd|=|cf|

    |ae|=|af|.∴|ab|-|ac|=22,

    ∴点a轨迹为以b,c为焦点的双曲线右支(y≠0)且a=2,c=2∴b=2,∴方程为x22-y22=1(x>2).

    【答案】 x22-y22=1(x>2)

    三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17.(10分)平面直角坐标系中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为22的圆c经过原点o.

    (1)求圆c方程;

    (2)求经过点(02)且被圆c所截得弦长为4的直线方程.

    解析 (1)设圆心为(ab),

    则b=a+4,a2+b2=22,解得a=-2b=2

    故圆方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

    (2)当斜率不存在时x=0与圆的两个交点为(0,4)(0,0),则弦长为4符合题意;

    当斜率存在时设直线为y-2=kx

    则由题意得,8=4+-2k1+k22,无解.

    综上,直线方程为x=0.

    18.(12分)(2011•合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为f1(-3,0)和f2(30),且椭圆过点1,-32.

    (1)求椭圆方程;

    (2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于mn两点,a为椭圆的左顶点.试判断∠man的大小否为定值,并说明理由.

    解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),

    由c=3,椭圆过点1,-32可得a2-b2=3,1a2+34b2=1,

    解得a2=4,b2=1所以可得椭圆方程为x24+y2=1.

    (2)由题意可设直线mn的方程为:x=ky-65,

    联立直线mn和椭圆的方程:x=ky-65x24+y2=1化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.

    设m(x1,y1),n(x2,y2)

    则y1y2=-6425k2+4,y1+y2=12k5k2+4

    又a(-20),则am→•an→=(x1+2,y1)•(x2+2y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0所以∠man=π2.

    19.(12分)已知椭圆c的中心为直角坐标系xoy的原点,焦点x轴上,它一个顶点到两个焦 点距离分别为7和1.

    (1)求椭圆c的方程;

    (2)若p为椭圆c上的动点m为过p且垂直于x轴直线上点,|op||om|=e(e为椭圆离心率),求点m的轨迹方程并说明轨迹什么曲线.

    解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,

    由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4c=3.

    ∴椭圆方程为x216+y27=1.

    (2)设m(xy),p(x,y1),其中x∈[-4,4],

    由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34

    故16(x2+y21)=9(x2+y2),①

    由点p在椭圆c上,得y21=112-7x216,

    代入①式并化简,得9y2=112.

    ∴点m的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4),

    ∴轨迹两条平行于x轴的线段.

    20.(12分)给定抛物线y2=2x,设a(a,0),a>0,p抛物线上一点,且|pa|=d,试求d的最小值.

    解析 设p(x0,y0)(x0≥0)则y20=2x0

    ∴d=|pa|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.

    ∵a>0,x0≥0,

    ∴(1)当0<a<1时,1-a>0

    此时有x0=0时,dmin=1-a2+2a-1=a;

    (2)当a≥1时,1-a≤0,

    此时有x0=a-1时,dmin=2a-1.

    21.(12分)已知双曲线的中心在原点焦点f1,f2在坐标轴上离心率为2,且过点(4-10)点m(3,m)双曲线上.

    (1)求双曲线方程;

    (2)求证:点m在以f1f2为直径的圆上;

    (3)求△f1mf2面积.

    解析 (1)∵双曲线离心率e=2,

    ∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),

    则由点(4-10)在双曲线上

    知λ=42-(-10)2=6,

    ∴双曲线方程为x2-y2=6.

    (2)若点m(3m)双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3,由双曲线x2-y2=6知f1(230),f2(-23,0),

    ∴mf1→•mf2→=(23-3,-m)•(-23- 3,-m)=m2-3=0,

    ∴mf1→⊥mf2→,故点m在以f1f2为直径圆上.

    (3)s△f1mf2=12|f1f2|•|m|=23×3=6.

    22.(12分)已知实数m>1,定点a(-m,0)b

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